Calculus-2: Derivative
发表于 2025-05-12
微积分-2:导数
1. 导数的定义
导数是描述函数瞬时变化率的工具，也是微分学的核心。
基本定义：
函数 ( f(x) ) 在点 ( x ) 处的导数定义为：
前提是该极限存在。
2. 常用导数法则
和差法则
\[(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)\]乘法法则（积的求导）
\[(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\]商法则（商的求导）
\[\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}, \quad g(x) \ne 0\]链式法则
如果 ( f(x) = h(g(x)) )，则：
\[f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)\]3. 导数的基本公式
幂函数导数
\[(x^n)' = n x^{n-1}, \quad \text{其中 } n \text{ 为任意实数}\]指数和对数函数
\[(e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad (x > 0)\]三角函数
\[(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x\]4. 微分的几何意义
微分概念
导数 ( f’(x) ) 表示函数在该点处切线的斜率，局部线性近似为：
\[\Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x\]应用场景
- 计算瞬时变化率
- 寻找函数极值（最大值、最小值）
- 解决相关变化率问题（related rates）
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