Calculus-1: Limit

发表于 2025-05-10

微积分-1:极限

1. 极限的定义

极限是微积分中最基本的概念之一，它为定义导数和积分提供了理论基础。

直观定义： 当 (x) 接近某个值 (a) 时，函数 (f(x)) 趋近于某个定值 (L)，记作：

\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]

2. 极限的四则运算

加法法则：

\[\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]

减法法则：

\[\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\]

乘法法则：

\[\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\]

除法法则：

\[\lim_{x \to a} [\frac{f(x)} {g(x)}] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)} {\lim_{x \to a} g(x)}, \quad \text{前提是 } \lim_{x \to a} g(x) \ne 0\]

3. 极限的连续性

定义

一个函数 ( f(x) ) 在点 ( a ) 处连续，当且仅当：

\[\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\]

连续函数的特性

• 在闭区间内连续的函数必定有最大值和最小值（极值定理）。
• 连续函数在区间上可作多项式近似（Weierstrass近似定理）。

4. 常用极限的公式

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\] \[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\] \[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\] \[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1\]

5. x趋于a 时的定值极限

直接代入法

因式分解法

渐近线 + 扭动法

共轭表达式法

6. x趋于无穷时的极限

首项主导法

7 无穷小

特性

• 无穷小加减后还是无穷小
• 无穷小相乘还是无穷小
• 无穷小与有界函数相乘还是无穷小

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